题目内容

如图,已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,tan∠EAB=
3
2

(1)证明:平面ACD⊥平面ADE;
(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A-CBE的体积,求V(x)的表达式;
(3)当V(x)取得最大值时,求证:AD=CE.
分析:(1)由已知,可以证明BC⊥平面ADC,又DE∥BC得出DE⊥平面ADC,根据两个平面垂直的判定定理即可证出平面ACD⊥平面ADE;
 (2)注意到VA-CBE=VE-ACB,BE为高,根据勾股定理用x表示出BC,代入锥体体积公式可得V(x)的表达式
(3)在(2)的基础上,利用函数求值域、最值的方法求出x的值后,再去证明AD=CE.
解答:解:


(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE,BC∥DE---------(1分)
∵DC⊥平面ABC,BC?平面ABC∴DC⊥BC.----------(2分)
∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C
∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC---------------------------------------(3分)
又∵DE?平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE----------------(4分)
(2)∵DC⊥平面ABC,CD∥BE∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC∴BE⊥AB,--------------------------------------------------------(5分)
在Rt△ABE中,由tan∠EAB=
BE
AB
=
3
2
,AB=2得BE=
3
------------(6分)
在Rt△ABC中∵BC=
AB2-AC2
=
4-x2
(0<x<2)
S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
x
4-x2
------------------------------------(7分)
V(x)=VC-ABE=VE-ABC=
1
3
S△ABC•BE
=
3
6
x
4-x2
(0<x<2)-------(8分)
(3)由(2)知要V(x)取得最大值,当且仅当x
4-x2
=
x2(4-x2)
取得最大值,
∵0<x<2
x2(4-x2)≤(
x2+4-x2
2
)2=4
------------(10分)
∴当且仅当x2=4-x2,即..时,“=”成立,
即当V(x)取得最大值时AC=
2
,这时△ACB为等腰直角三角形
连接DB,∵AC=BC,DC=DC
∴Rt△DCA≌Rt△DCB------------------(12分)
∴AD=BD  又四边形BCDE为矩形
∴BD=CE
∴AD=CE------------------------------------------------------------(14分)
点评:本题考查面面垂直的判定,锥体体积公式,基本不等式法求函数最值,考查空间想象能力、转化(垂直、平行及两者之间的转化)、论证、计算能力.
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