Question

公差不为0的等差数列{a_n}满足：a₁=6，a₂，a₆，a₁₄分别为等比数列{b_n}的第三、四、五项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，{b_n}的前n项和为T_n，求使得T_k＞

Sk

2

的最小k值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得（6+5d）²=（6+d）（6+13d），由此求出公差d=2，从而能求出a_n=2n+4．进而利用等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由S_n=n²+5n，T_n=2ⁿ⁺¹-2，利用T_k＞

Sk

2

，得2k+1-2＞

k2+5k

2

，由此能求出使得T_k＞

Sk

2

的最小k值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得（6+5d）²=（6+d）（6+13d），
由d≠0，解得d=2，
∴a_n=6+（n-1）×2=2n+4．
∵a₁=6，a₂，a₆，a₁₄分别为等比数列{b_n}的第三、四、五项，
∴b₃=a₂=8，b₄=a₆=16，b₅=a₁₄=32，
∴

b1q2=8 b1q3=16

，解得b₁=2，q=2，
∴b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）S_n=6n+

n(n-1)

2

×2=n²+5n，
T_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∵T_k＞

Sk

2

，∴2k+1-2＞

k2+5k

2

，
整理，得2^k+2＞k²+5k+4，
解得k＞2，∵k∈N^*，∴使得T_k＞

Sk

2

的最小k值为3．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意等价转化思想的合理运用．