Question

如果一个数列{b_n}的前项n和为S_n，并且对于任意的n∈N^*都有S_n-2b_n+3n=0
（1）设a_n=b_n+3，求证：数列{a_n}是一个等比数列，并求出{b_n}的通项公式．
（2）求数列{nb_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n-2b_n+3n=0，利用递推式可得：b_n-2b_n+2b_n-1+3=0，化为b_n+3=2（b_n-1+3），可得a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式可得a_n，进而得到b_n．
（2）nb_n=3（n×2ⁿ-n），令T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用“错位相减法”可得T_n，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵S_n-2b_n+3n=0，∴当n≥2时，S_n-1-2b_n-1+3（n-1）=0，b_n-2b_n+2b_n-1+3=0，化为b_n+3=2（b_n-1+3），
∵a_n=b_n+3，
∴a_n=2a_n-1，
当n=1时，b₁-2b₁+3=0，解得b₁=3．
∴数列{a_n}是一个等比数列，公比为2，首项为b₁+3=6，
∴a_n=6×2^n-1=3×2ⁿ．
∴b_n+3=3×2ⁿ，
化为b_n=3×2ⁿ-3．
（2）解：nb_n=3（n×2ⁿ-n），
令T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
则2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ，-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2n+1=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{nb_n}的前n项和=3[(n-1)×2n+1+2-

n(n+1)

2

]=（6n-6）•2ⁿ+6-

3n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．