题目内容

如图，P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0，xy≠0）上的动点，F1、F2是双曲线的左右焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且F2M⊥MP某同学用以下方法研究|OM|：延长FM2交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得|OM|=
1
2
|NF1|，…，|OM|=a．类似地：P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，b2+c2=a2，xy≠0)上的动点，F1、F2是椭圆的左右焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且F2M⊥MP，则|OM|的取值范围是（　　）
A、（0，a）
B、（0，b）
C、（b，a）
D、（0，c）
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,推理和证明
分析：类比双曲线中的研究方法，结合椭圆的定义和性质，即可确定|OM|的取值范围．
解答： 解：延长F2M交PF1于点N，
由M是∠F1PF2的平分线上一点，且F2M⊥MP，
可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，
得|OM|=
1
2
|NF1|=
1
2
（|PF1|-|PF2|），
∵|PF1|+|PF2|=2a，
∴|OM|=a-|PF2|，
∵a-c≤|PF2|≤a+c
∵P、F1、F2三点不共线，
∴0＜a-|PF2|＜c，
即0＜|OM|＜c．
故选D．
点评：本题考查类比推理，考查椭圆的定义和性质，运用等腰三角形的三线合一是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的前n项和为Sn．已知，a1=0，an+1=Sn+3n，n∈N*．
（1）Sn=
 

（2）若
100n
an+1+3•2n-1
-2≥k2-3|k|，对n∈N*恒成立，则k的取值范围是
 
．
已知cosα=-
3
5
，α∈（π，
3π
2
），则sin（π-α）=（　　）
A、-
3
5
B、
3
5
C、-
4
5
D、
4
5
公差不为0的等差数列{an}满足：a1=6，a2，a6，a14分别为等比数列{bn}的第三、四、五项．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn，求使得Tk＞
Sk
2
的最小k值．
已知Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，点（an，Sn）都在函数f（x）=-
1
2
x+
1
2
的图象上．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=log 
1
3
a2n+1，Tn为数列{bn}的前项和，且
1
T1
+
1
T2
+…+
1
Tn
≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
在矩形ABCD中，|
AB
|=
3
，|
BC
|=1，则|
BA
-
BC
|=（　　）
A、2
B、3
C、2
3
D、4
已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．
已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，双曲线C2的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1，C1与C2的离心率之积为
15
4
，则C2的渐近线方程为（　　）
A、x±2y=0
B、2x±y=0
C、x±4y=0
D、4x±y=0
从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得
10
i=1
xi=80，
10
i=1
yi=20，
10
i=1
xiyi=184，
10
i=1
xi2=720．则家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为
 
．
（附：线性回归方程y=bx+a中，b=
n
i=1
xiyi-n
.
x
y
n
i=1
xi2-n
x
2
，a=
.
y
-b
.
x
，其中
.
x
，
.
y
为样本平均值，线性回归方程也可写为
.
y
=
.
b
x+
.
a
．）

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