题目内容
已知矩形 A BCD中，A B=2，BC=1，点 P是 BD上任意一点，则
•（
+
）的取值范围是 ．
| BP |
| PA |
| PC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：以D为原点，DA为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴建立坐标系，得到所需向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，求范围．
解答：
解：以D为原点，DA为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴建立坐标系，则A（1，0），B（1，2），C（0，2），所以BD的直线方程为y=2x，
设P（x，2x），x∈[0，1]，所以
=（x-1，2x-2），
=（1-x，-2x），
=（-x，2-2x），
则
+
=（1-2x，2-4x），
•（
+
）=-5（2x2-3x+1）=-10（x-
）2+
，因为x∈[0，1]，
所以
•（
+
）∈[-5，
]．
故答案为：[-5，
]．
设P（x，2x），x∈[0，1]，所以
| BP |
| PA |
| PC |
则
| PA |
| PC |
| BP |
| PA |
| PC |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
所以
| BP |
| PA |
| PC |
| 5 |
| 8 |
故答案为：[-5，
| 5 |
| 8 |
点评：本题考查了向量的加减运算、数量积的运算以及与二次函数相结合的最值求法，属于中档题．
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