Question

已知抛物线（）的准线与轴交于点．

（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；

（2）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），焦点坐标为；

（2）存在，直线的方程为：或．．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的性质知抛物线的交点坐标为；

（2）设与抛物线方程联立，由韦达定理，得到，进一步的面积用和表示，解得的值，得到所求直线方程．

试题解析：（1）由已知得：，从而抛物线方程为，焦点坐标为．

（2）由题意，设，并与联立， 得到方程：，

设，，则，．

∵，∴ ，

又，∴ 解得，

故直线的方程为：．即或．

解法二：（1）（同解法一）

（2）当轴时，，，

不符合题意．

故设（），并与联立，

得到方程：，

设，，则，．

，

点到直线的距离为，

∴，

解得，

故直线的方程为：．即或．

考点：1．抛物线的标准方程；2．韦达定理．