Question

已知函数,其中.

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

（2）当时，图象上任意一点处的切线的倾斜角为，且，求a的取值范围．

Answer 1

解(1)f′(x)＝－3x²＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，------------2分

∵f′(x)是开口向下的抛物线，

∴，∴a≥3. ------------6分

(2)∵0≤θ≤，∴tanθ＝－3x²＋2ax∈[0,1]．

据题意0≤－3x²＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，------------9分

由－3x²＋2ax≥0，得a≥x， a≥，         ------------11分

由－3x²＋2ax≤1，得a≤x＋.

又x＋≥(当且仅当x＝时取“＝”)，

∴a≤                               .------------13分

综上，a的取值范围是≤a≤.