Question

(本小题满分14分）
已知函数为常数)是实数集上的奇函数，函数
在区间上是减函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的最大值；
（Ⅲ）若关于的方程有且只有一个实数根，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）是实数集上奇函数，
，即   ……2分．
将带入，显然为奇函数．         ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
要使是区间上的减函数，则有在恒成立，，所以．           ……5分
要使在上恒成立，
只需在时恒成立即可．
(其中)恒成立即可． ………7分
令，则即
，所以实数的最大值为              ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程，即，
令

当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
当时，．     ………………11分
而
当时是减函数，当时，是增函数，
当时，． ………………12分
只有当，即时，方程有且只有一个实数根． …………14分
点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合