Question

【题目】已知直线l：y=﹣x+1与椭圆C： =1（a＞b＞0））相交于不同的两点A、B，且线段AB的中点P的坐标为（ ， ）

（1）求椭圆C离心率；
（2）设O为坐标原点，且2|OP|=|AB|，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：将直线y=1﹣x代入椭圆方程，可得

（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，

则x1+x2= ，

由AB的中点P的坐标为（ ， ），可得

= ，即为a2=2b2，

可得c2=a2﹣b2= a2，

则椭圆C离心率为e= =

（2）解：由（1）可得，

△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，

可得a2+b2＞1，即b2＞ ，

x1+x2= ，x1x2= = ，

由2|OP|=|AB|，可得：

2 = ，

解得b2= （满足△＞0），即有a2= ，

可得椭圆方程为 =1

【解析】（1）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（2）运用韦达定理和弦长公式，以及两点的距离公式，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程．