Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S_△TPQ是否有最大值，利用基本不等式的性质，即可求得△FPQ′的面积是否存在最大值．

解答 解：（1）由题意可知：c=1，2a=4，即a=2，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线l的方程为x=my+4，
与椭圆的方程联立，得$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去x，得（3m²+4）y²+24my+36=0，
∴△=（24m）²-4×36（3m²+4）=144（m²-4）＞0，
即m²＞4；  …6分
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则Q₁（x₁，-y₁），
由根与系数的关系，得y₁+y₂=-$\frac{24m}{4+3{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{36}{4+3{m}^{2}}$；
直线RQ₁的斜率为k=$\frac{{y}_{2}-（-{y}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，且Q₁（x₁，y₁），
∴直线RQ₁的方程为y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）；
令y=0，得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{（m{y}_{1}+4）{y}_{2}+{y}_{1}（m{y}_{2}+4）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+4（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
将①②代入上式得x=1；…9分
又S_△TRQ=$\frac{1}{2}$|ST|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=18×$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}}{\sqrt{3{m}^{2}+4}}$=18×$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}}{3（{m}^{2}-4）+16}$=18×$\frac{1}{3\sqrt{{m}^{2}-4}+\frac{16}{\sqrt{{m}^{2}-4}}}$≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当$\sqrt{{m}^{2}-4}$=$\frac{16}{\sqrt{{m}^{2}-4}}$，即m²=$\frac{28}{3}$时取得“=”；
∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目，属于中档题．