题目内容
已知函数f（x）=x2+ax+ln2，在[0，1]上为增函数，且对于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2都满足|f（x1）-f（x2）|＜3|x1-x2|，则实数a的取值范围是 ．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由函数f（x）在[0，1]上为增函数，通过求导得到a≥-2x在[0，1]恒成立，求出a的范围，设x1＜x2，得：f（x2）-3x2＜f（x1）-3x1，通过构建新函数g（x），结合函数的单调性，从而综合得到a的范围．
解答：
解：函数f（x）=x2+ax+ln2，在[0，1]上为增函数，
∴f′（x）=2x+a≥0在[0，1]恒成立，
∴a≥-2x在[0，1]恒成立，
∴a≥0；
对于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2不妨设x1＜x2，
由|f（x1）-f（x2）|＜3|x1-x2|，
得：f（x2）-3x2＜f（x1）-3x1，
令g（x）=f（x）-3x，
只需g（x）在[0，1]上得到递增即可，
∴只需g′（x）=2x+a-3≥0在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3-2x在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3即可，
综上，a≥3，
故答案为：a≥3．
∴f′（x）=2x+a≥0在[0，1]恒成立，
∴a≥-2x在[0，1]恒成立，
∴a≥0；
对于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2不妨设x1＜x2，
由|f（x1）-f（x2）|＜3|x1-x2|，
得：f（x2）-3x2＜f（x1）-3x1，
令g（x）=f（x）-3x，
只需g（x）在[0，1]上得到递增即可，
∴只需g′（x）=2x+a-3≥0在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3-2x在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3即可，
综上，a≥3，
故答案为：a≥3．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查了转化思想，是一道中档题．
练习册系列答案
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已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁UA=（ ）
| A、φ |
| B、{0，2} |
| C、{1，5} |
| D、{2，0，1，5} |
已知向量
=（x-1，2），
=（2，1），且
⊥
，则x的值是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、1 | B、-1 | C、2 | D、0 |
