Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1，且a₁=1，求证：{a_n}为等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：充分利用已知4S_n=（2n-1）a_n+1+1，将式子中n换成n-1，然后相减得到a_n与a_n+1的关系，利用累乘法得到数列的通项．

解答： 证明：由已知4S_n=（2n-1）a_n+1+1，
得到4S_n-1=（2n-3）a_n+1两式相减得
4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，
整理得（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1，即

an+1

an

=

2n+1

2n-1

所以

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

5

3

…

an

an-1

=

2n-1

2n-3

，
以上各式相乘得

an

a1

=2n-1，又a₁=1，
所以a_n=2n-1，
所以{a_n}是以1为首项2为公差的等差数列；

点评：本题考查了数列s_n与a_n关系式的运用以及等差数列的通项公式的求法，利用累乘法求数列的通项公式经常用到，注意掌握．