Question

8．已知数列{a_n} 为等比数列，等差数列{b_n} 的前n 项和为S_n （n∈N^* ），且满足：S₁₃=208，S₉-S₇=41，a₁=b₂，a₃=b₃．
（1）求数列{a_n}，{b_n} 的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n （n∈N^* ），求T_n； 
（3）设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，问是否存在正整数m，使得c_m•c_m+1•c_m+2+8=3（c_m+c_m+1+c_m+2）．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的前n项公式和S₉-S₇=41，即可求出a_n．再利用a₁=b₂，a₃=b₃，可知公比，进而可得{b_n} 的通项公式；
（2）通过错位相减法即可求出前n项和，
（3）分类讨论，计算即得结论．

解答 解：（1）等差数列{b_n} 的前n 项和为S_n （n∈N^* ），且满足：S₁₃=208，S₉-S₇=41，
即$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{13}=13{b}_{7}=208}\\{{S}_{9}-{S}_{7}={b}_{9}+{b}_{8}=41}\end{array}\right.$
解得b₇=16，公差为3
∴b₁=-2，b_n=3n-5，
∵a₁=b₂=1，a₃=b₃=4，数列{a_n} 为等比数列，
∴a_n=2^n-1，n∈N*
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=-2×1+1×2+…+（3n-5）2^n-1，①
∴2T_n=-2×2+1×2²+…+（3n-5）2ⁿ，②
②-①得T_n=-2+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-5）2ⁿ=3×（2ⁿ-2）-（3n-5）2ⁿ=（8-3n）2ⁿ-8，
∴T_n=（3n-8）2ⁿ+8，n∈N^*
（3）∵设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n为奇数}\\{3n-5，n为偶数}\end{array}\right.$，
当m=1时，c₁•c₂•c₃+8=1×1×4+8=12，3（c₁+c₂+c₃）=18，不相等，
当m=2时，c₂•c₃•c₄+8=1×4×7+8=36，3（c₂+c₃+c₄）=36，成立，
当m≥3且为奇数时，c_m，c_m+2为偶数，c_m+1为奇数，
∴c_m•c_m+1•c_m+2+8为偶数，3（c_m+c_m+1+c_m+2）为奇数，不成立，
当m≥4且为偶数时，若c_m•c_m+1•c_m+2+8=3（c_m+c_m+1+c_m+2），
则（3m-5）•2^m•（3m+1）+8=3（3m-5+2^m+3m+1），
即（9m²-12m-8）2^m=18m-20，（*）
∵（9m²-12m-8）2^m≥（9m²-12m-8）2⁴＞18m-20，
∴（*）不成立，
综上所述m=2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．