Question

【题目】已知函数．

(1)若函数存在极小值点，求的取值范围；

(2)当时，证明：．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 证明见解析.

【解析】

（1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系进行讨论求解即可；

（2）求函数的导数，讨论x的取值范围，结合函数单调性和最值之间的关系进行证明即可．

（1）由题意知，函数的定义域为，

.

①当时，令，解得，

当时，，

当时，，

∴是函数的极小值点，满足题意.

②当时，令，

，

令，解得，

当时，，

当时，，

∴，

若，即时，

恒成立，

∴在上单调递增，无极值点，不满足题意.

若，即时，

，

∴，

又在上单调递增，

∴在上恰有一个零点，

当时，

当时，

∴是的极小值点，满足题意，

综上，.

（2）当时，

①当，则，，

∴.

②当时，令，

，

令，

，

∵在上是增函数，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

∴时，成立，

综上，.