Question

【题目】设曲线 ，点为的焦点，过点作斜率为1的直线与曲线交于，两点，点，的横坐标的倒数和为-1.

（1）求曲线的标准方程；

（2）过焦点作斜率为的直线交曲线于，两点，分别以点，为切点作曲线的切线相交于点，过点作轴的垂线交轴于点，求三角形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

（1）设直线的方程，与抛物线联立，由点，的横坐标的倒数和为-1，结合韦达定理代入求值即可；（2）设的方程为，与抛物线联立求得,求过M,N的切线方程求得Q(2k,0),利用点到线的距离求点到直线/的距离为，利用求解即可

（1）由题意可知：，故可设直线的方程为即

联立方程可得∴

由题意知：，即，即，得.

∴曲线的标准方程为.

（2）由题意知直线的斜率是存在的，故设的方程为，

设与曲线相交于点，

联立方程可得∴

∴.

由，得. ∴.

∴，∴……①

∴，∴……②

上述两式相减得：，∴.∴点坐标为.

∴点到直线的距离为.

∴

又∵，∴.易知当时，的面积最小，且为2，

即.