题目内容
【题目】已知函数
，
，
．
(Ⅰ)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(Ⅱ)求
的单调区间；
(Ⅲ)设
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)求解出点
，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在
、
和
三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将问题转化为
在
上的值域是
在上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围.
(Ⅰ)当
时，
，所以
所以
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
(Ⅱ)
的定义域是
，
令
，得
①当时，
，所以函数的单调增区间是
②当时，
变化如下：
|
|
|
|
|
|
|
| + |
| - | - |
| + |
| ↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的单调增区间是
，单调减区间是
③当时，变化如下：
|
|
|
|
|
|
|
| + |
| - | - |
| + |
| ↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的单调增区间是
，单调减区间是
(Ⅲ)因为
，所以
当时，
所以
在
上恒成立，所以在上单调递增
所以在上的最小值是
，最大值是
即当
时，的取值范围为
由(Ⅱ)知，当
时，
，在
上单调递减，在
上单调递增
因为
，所以不合题意
当
时，
，在上单调递减
所以在上的最大值为
，最小值为
所以当时，的取值范围为
“对于任意
，总存在
，使得
成立”等价于
即
，解得
所以
的取值范围为
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