Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0），过点Q（4，0）作动直线l交抛物线于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若对点P（t，0），恒有∠APQ=∠BPQ，求实数t的值及△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，代入抛物线方程，利用韦达定理，得出n=2p，结合直线过点Q（4，0），求出p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）利用∠APQ=∠BPQ，可得k_PA=-k_PB，结合斜率公式求出t，利用S_△PAB=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×8，求出△PAB面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，
代入抛物线方程可得y²-2pmy-2pn=0
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．
∴2p=4，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵∠APQ=∠BPQ，
∴k_PA=-k_PB，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$
∴x₂y₁-ty₁=-x₁y₂+ty₂，
∴x₂y₁+x₁y₂=t（y₁+y₂），
∴$\frac{1}{4}$y₁y₂（y₁+y₂）=t（y₁+y₂），
∴4t=y₁y₂，
∴4t=-16，
∴t=-4
由（Ⅰ）有y₁y₂=-16，y₁+y₂=4m，∴|y₁-y₂|=$\sqrt{16{m}^{2}+64}$
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×8=4$\sqrt{16{m}^{2}+64}$
∴m=0时，△PAB面积的最小值为32．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．