Question

4．（1）在区间[1，3]上任取两整数a、b，求二次方程x²+2ax+b²=0有实数根的概率．
（2）在区间[1，3]上任取两实数a、b，求二次方程x²+2ax+b²=0有实数根的概率．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的判别式大于等于0得到方程x²+2ax+b²=0有实数根的充要条件为a≥b，用列举法求出a，b是从[0，3]任取的两个整数即从0，1，2，3四个数中任取的两个数，查出满足a≥b的事件数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；
（2）由题意求出点（a，b）所构成的正方形的面积，再由线性规划知识求出满足a≥b的区域面积，由测度比是面积比求概率

解答 解：（1）在区间[1，3]上任取两整数a、b，共有3×3=9种取法，基本事件共9个，（1，1），（1，2），（1，3），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值
使二次方程x²+2ax+b²=0有实数根的事件为A，A中A，B满足a≥b，则事件A中包含6基本事件．
事件A发生的概率为P（A）=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$；
（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤3}．
构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤3，a≥b}．
如图，
∴所求的概率P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×2×2}{2×2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了古典概型以及几何概型的概率计算公式，关键是理解（2）的测度比，是基础题．