Question

1．在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角△ABO，使∠B=90°，求点B和向量$\overrightarrow{AB}$的坐标．

Answer 1

分析 设B（x，y），则$\overrightarrow{OB}=（x，y），\overrightarrow{AB}=（x-5，y-2）$，由此利用$\overrightarrow{OB}⊥\overrightarrow{AB}$，$|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，能求出点B和向量$\overrightarrow{AB}$的坐标．

解答 （本小题满分12分）
解：如图，设B（x，y），则$\overrightarrow{OB}=（x，y），\overrightarrow{AB}=（x-5，y-2）$，…（2分）
∵$\overrightarrow{OB}⊥\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}=0$…（4分）
∴x（x-5）+y（y-2）=0，即x²+y²-5x-2y=0…（6分）
又∵$|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，…（8分）
∴x²+y²=（x-5）²+（y-2）²，即10x+4y=29…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-5x-2y=0\\ 10x+4y=29\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{7}{2}\\{y_1}=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{3}{2}\\{y_2}=\frac{7}{2}\end{array}\right.$
∴B点的坐标为$（{\frac{7}{2}，\;-\frac{3}{2}}）或（{\frac{3}{2}，\;\frac{7}{2}}）$，…（11分）
$\overrightarrow{AB}=（{-\frac{3}{2}，\;-\frac{7}{2}}）或\overrightarrow{AB}=（{-\frac{7}{2}，\;\frac{3}{2}\;}）$…（12分）

点评 本题考查点的坐标及向量坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．