题目内容

已知的图像过原点，且在点处的切线与轴平行，对任意，都有.
(1)求函数在点处切线的斜率；
(2)求的解析式；
(3)设，对任意，都有.求实数的取值范围.

（1）1；（2）；（3）.

解析试题分析：（1）先根据导数的几何意义，知所求切线的斜率为，然后根据：对任意，都有，即可得到，进而可得；（2）先由函数图像过原点确定，进而由导数的几何意义与（1）中的导数值，可列出方程组即，解出，代入不等式得到，该不等式恒成立，可得，从中就可以确定的值，进而可写出函数的解析式；（3）先将：对任意，都有等价转化为，先利用导数求出函数的最大值为，于是变成了对恒成立问题，采用分离参数法得到时，恒成立，进一步等价转化为，进而再利用导数确定函数的最值即可.
试题解析：（1）根据导数的几何意义可知，函数在点处切线的斜率就是
因为对任意，都有
所以
所以即函数在点处切线的斜率为1
（2）依题意知，而
因为函数的图像在点处的切线与轴平行
所以     ①
而       ②
由①②可解得
因为对任意，都有即恒成立

所以
（3）由（2）得
所以
当时，，此时函数单调递减，此时
当时，，此时函数单调递增，此时
因为
所以当时，
因为对任意，都有
所以，都有即，所以
令
所以

练习册系列答案
相关题目

已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。

已知函数，其中a，b∈R
(1)当a＝3，b＝－1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为2x－3y－e＝0(e＝2.71828 为自然对数的底数)，求a，b的值；
(3)当a＞0，且a为常数时，若函数h(x)＝x[f(x)＋lnx]对任意的x1＞x2≥4，总有成立，试用a表示出b的取值范围.

已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．

已知函数f(x)＝ex，a，bR，且a＞0．
⑴若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；
⑵设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．
①当a＝1时，对任意x (0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
②设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．

用白铁皮做一个平底、圆锥形盖的圆柱形粮囤，粮囤容积为（不含锥形盖内空间），盖子的母线与底面圆半径的夹角为，设粮囤的底面圆半径为R，需用白铁皮的面积记为（不计接头等）。
（1）将表示为R的函数；
（2）求的最小值及对应的粮囤的总高度。（含圆锥顶盖）

已知函数：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1
(1)y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；
(2)函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求b的取值范围．

对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①任意三次函数都关于点对称：
②存在三次函数,若有实数解，则点为函数的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数，则:
其中所有正确结论的序号是(     )．

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④

（10分）已知函数，设为的导数，
（1）求的值；
（2）证明：对任意，等式都成立.

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