Question

11．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$
（1）求△ABC的周长；
（2）求sin（A-C）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的周长a+b+c的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，求得sin（A-C）的值．

解答 解：（1）△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}-2ab•cosC}$=$\sqrt{1+4-4•\frac{1}{4}}$=2，
故△ABC的周长为a+b+c=5．
（2）∵b=c，∴B=C，∴cosB=cosC=$\frac{1}{4}$，∴sinB=sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-$\frac{1}{16}$+$\frac{15}{16}$=$\frac{7}{8}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∴sin（A-C）=sinAcosC-cosAsinC=$\frac{\sqrt{15}}{8}•\frac{1}{4}$-$\frac{7}{8}•\frac{\sqrt{15}}{4}$=-$\frac{3\sqrt{15}}{16}$．

点评 本题主要考查余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．