Question

12．已知三个数a-1，a+1，a+5成等比数列，其倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a_n}的前三项，则能使不等式a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$成立的自然数n的最大值为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 求出数列的前n项和，根据不等式之间的关系即可得到结论．

解答 解：∵三个数a-1，a+1，a+5成等比数列，
∴（a+1）²=（a-1）（a+5），
∴a=3，
倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a_n}的前三项，为$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，公比为2
数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以8为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
则不等式a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$等价为$\frac{\frac{1}{8}（1-{2}^{n}）}{1-2}$≤$\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
整理，得2ⁿ≤2⁷，
∴1≤n≤7，n∈N₊．
故选：B．

点评 本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性较强，运算量较大．