Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.

（参考数据： ， ）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）最大整数的值为.

【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解；（2）利用参数分离法，转化为两个函数有两个不同的交点即可；（3）的图象在的图象的下方，等价为对任意的， 恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可.

试题解析：（1）因为，所以，则所求切线的斜率为，

又，故所求切线的方程为.

（2）因为，则由题意知方程在上有两个不同的根.

由，得，

令，则，由，解得.

当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，

所以当时， 取得最小值为.

又， （图象如右图所示），

所以，解得.

（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.

即对恒成立.

令，则，

令，则，

因为在上单调递增， ， ，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，

所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，

则取到最小值 ，…14分

所以，即在区间内单调递增.

所以，

所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.