Question

【题目】已知函数，集合．

（1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；

（2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）将函数解析式变形为，根据对称性可知集合中的个整数只能是、、，然后对与的大小进行分类讨论，结合题意可得出实数的取值范围；

（2）对与的大小进行分类讨论，结合可得出所满足的不等式，结合的取值范围，可求得实数的取值范围.

（1）.

因为集合中有且仅有个整数，则，即.

①若，即当时，，

由于与的平均数为，则，则中的个整数只可能是、、，；

②，即当时，，

由于与的平均数为，则，则中的个整数只可能是、、，.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）①若，即时，则，，

，则，得；

②当时，即当时，，

则，

，则，得，

，可得，，

，，此时；

③若，即当时，，

则，

，则，得，

所以，则，解得，此时，

，，此时.

综上所述，实数的取值范围是.