Question

【题目】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

（1）写出函数的解析式；

（2）若对任意 ， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）利用三角函数的图象变换，即可求得函数的解析式；

（2）令，则恒成立，再根据二次函数的图象与性质，即可求解；

（3）由题意可得的图象与在上有2019个交点，分类讨论，即可求得和的值.

（1）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，再向左平移个单位长度后得到函数的图象，

故函数的解析式为.

（2）若对于任意，则，所以，

又由恒成立，

令，则恒成立，

则，解得.

（3）因为在上恰有个零点，

故函数的图象与在上有2019个交点，

当时，，

①当或时，函数的图象与在上无交点；

②当或时，函数的图象与在上仅有一个交点，

此时要使得函数的图象与在上有2019个交点，则；

③当或时，函数的图象与在上2个交点，

此时要使得函数的图象与在上的交点个数，不能是2019个；

④当时，函数的图象与在上3个交点，

此时要使得函数的图象与在上有2019个交点，则；

综上可得，当或时，；当时，.