题目内容
已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．且
=
，
=
，
=m
，
=n
，求证：
+
=3．
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OP |
| a |
| OQ |
| b |
| 1 |
| m |
| 1 |
| n |
分析：先确定
=
(
+
)，
=
(
+
)，根据PQ过△ABO的重心G，可得
=λ
，利用平面向量基本定理，即可得到结论．
| OM |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| OG |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| PG |
| GQ |
解答：证明：∵
=
，
=
，M是AB边的中点
∴
=
(
+
)
∵点G是△ABO的重心，∴
=
(
+
)
∵PQ过△ABO的重心G，∴
=λ
∴
(
+
)-m
=n
-
(
+
)
∵
，
不共线
∴
消去λ，可得3mn=m+n
∴
+
=3．
| OA |
| a |
| OB |
| b |
∴
| OM |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
∵点G是△ABO的重心，∴
| OG |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
∵PQ过△ABO的重心G，∴
| PG |
| GQ |
∴
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
∴
|
消去λ，可得3mn=m+n
∴
| 1 |
| m |
| 1 |
| n |
点评：本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，已知点G是△ABO的重心．
＋
＋
；
＝a，
＝b，
＝ma，
＝nb，
．
=a，
=b，
=ma，
=nb，求证：
+
=3．
=
，
=
，
=m
，
=n
，求证：
+
=3．