Question

如图所示，已知点G是△ABO的重心．
（1）求

GA

+

GB

+

GO

；
（2）若PQ过△ABO的重心G，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OP

=m

a

，

OQ

=n

b

，求证：

1

m

+

1

n

=3．

Answer 1

分析：（1）利用向量的线性运算，结合点G是△ABO的重心，即可得到结论；
（2）由于P，G，Q三点共线，利用向量共线定理，可得存在实数λ使得

PG

=λ

GQ

，利用平面向量基本定理，可得方程组，消去λ，即可得到结论．

解答：（1）解：∵M为AB中点，∴

GM

=

1

2

（

GA

+

GB

）．
又G为△ABO的重心，∴

GM

=

1

2

OG

，
∴

GA

+

GB

+

GO

=2

GM

-2

GM

=

0

．
（2）证明：由

OM

=

1

2

（a+b）得，

OG

=

2

3

OM

=

1

3

（a+b）．
由于P，G，Q三点共线，∴存在实数λ使得

PG

=λ

GQ

．
而

PG

=

OG

-

OP

=（

1

3

-m）a+

1

3

b，

GQ

=

OQ

-

OG

=-

1

3

a+（n-

1

3

）b，
则（

1

3

-m）a+

1

3

b=λ[-

1

3

a+（n-

1

3

）b]，
∴

1 3 -m=- 1 3 λ 1 3 =λ(n- 1 3 )

，消去λ整理得

1

m

+

1

n

=3．

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量共线定理、考查平面向量基本定理，属于中档题．