Question

【题目】已知是等差数列， 是等比数列， ， ， ， .

（1）求， 的通项公式；

（2）的前项和为，求证： .

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据是等差数列， 是等比数列， ， ， ， 列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列， 的通项公式；（2）由（1）可知，根据错位相减法结合等比数列的求和公式可得的前项和为，利用放缩法可得结论.

试题解析：（1）设公差为， 公比为，

由题意得： ，

解得，或（舍），

∴， .

（2） ，

，

相减得： ，

∴，∴.

【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.