题目内容

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;
(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1) 小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小
(2) 10海里/时    (3)存在，v的取值范围是(15,30)

解:(1)法一　设相遇时小艇的航行距离为s海里,则
s=
=
=.
故当t=时,smin=10,v==30.
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
法二　若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.
如图所示,设小艇与轮船在C处相遇.

在Rt△OAC中,OC="20cos" 30°=10,
AC="20sin" 30°=10.
又AC=30t,OC=vt,
此时,轮船航行时间t==,v==30.
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.

由题意可得
(vt)2=202+(30t)2-2×20×30t×cos(90°-30°),
化简得v2=-+900
=400(-)2+675.
由于0<t≤,即≥2,
所以当=2时,v取得最小值10,
即小艇航行速度的最小值为10海里/时.
(3)由(2)知v2=-+900,
设=u(u>0),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即

解得15<v<30.
所以v的取值范围是(15,30).
练习册系列答案
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在分别是角A、B、C的对边，，且．
(1)．求角B的大小；
(2)．求sin A＋sin C的取值范围．
在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是________．
在△ABC中，若0＜tan A·tan B＜1，那么 △ABC一定是(  )
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定
在△ABC中,若b=2asinB,则A等于(　　)
A．30°或60°B．45°或60°
C．120°或60°D．30°或150°
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝8，b＝10，△ABC的面积为20，则△ABC的最大角的正切值是________．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则A="__________."
△ABC中，若，，，则等于（   ）
A．B．C．或D．

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