Question

（1）如图，已知α、β是坐标平面内的任意两个角，且0≤α-β≤π，证明两角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）已知α∈(0，

π

2

)，β∈(

π

2

，π)，且cosβ=-

1

3

，sin(α+β)=

7

9

，求2cos2α+cos²α的值．

Answer 1

分析：（1）设P₁、P₂分别为α、β终边与单位圆的交点，表示出P₁、P₂坐标，利用平面向量的数量积运算法则根据两点坐标表示出

OP1

•

OP2

，再由

OP1

•

OP2

的夹角为α-β，两向量模为1，利用平面向量数量积运算法则表示出

OP1

•

OP2

，即可得证；
（2）由β的范围求出sinβ大于0，根据cosβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，由α与β的范围求出α+β的范围，根据sin（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，由cosα=cos[（α+β）-β]，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算求出cosα的值，所求式子第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，去括号合并将cosα的值代入计算即可求出值．

解答：（1）证明：设P₁、P₂分别为α、β终边与单位圆的交点，
∴P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），
∴

OP1

•

OP2

=cosαcosβ+sinαsinβ，
又∵

OP1

•

OP2

的夹角为α-β，
∴

OP1

•

OP2

=|OP₁|•|OP₂|cos（α-β）=cos（α-β），
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）∵β∈（

π

2

，π），cosβ=-

1

3

，
∴sinβ=

1-cos2β

=

2 2

3

，
∵α∈（0，

π

2

），∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
∵sin（α+β）=

7

9

，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4 2

9

，
∴cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=

2 2

3

，
则2cos2α+cos²α=2（2-cos²α1）+cos²α=5cos²α-2=

22

9

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式是解本题的关键．