Question

已知函数f(x)＝，x∈[－1,1]，函数的最小

  值为h(a)．

  (1)求h(a)的解析式；（7分）

  (2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域

  为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．（14分）

Answer 1

解：(1)由f(x)＝^x，x∈[－1,1]，知f(x)∈，令t＝f(x)∈

记g(x)＝y＝t²－2at＋3，则g(x)的对称轴为t＝a，故有：

①当a≤时，g(x)的最小值h(a)＝－，         

②当a≥3时，g(x)的最小值h(a)＝12－6a，      

③当<a<3时，g(x)的最小值h(a)＝3－a²                 

综上所述，h(a)＝                

(2)当a≥3时，h(a)＝－6a＋12，故m>n>3时，h(a)在[n，m]上为减函数，

所以h(a)在[n，m]上的值域为[h(m)，h(n)]．

由题意，则有，两式相减得6n－6m＝n²－m²，又m≠n，所以m＋n＝6，这与

m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值.