题目内容

设函数g(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2-bx(a，b∈R)，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．
（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的两个实数
由韦达定理，
-2+4=-a
-2×4=-b
∴
a=-2
b=8
，f（x）=x2-2x-8（7分）
（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，
所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
这只需满足
f(-1)≤0
f(3)≤0
即可，也即
a+b≥1
b-3a≥9

而a2+b2可视为平面区域
a+b≥1
b-3a≥9
内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，
所以当
a=-2
b=3
时，a2+b2有最小值13．（14分）
练习册系列答案
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设函数g(x)=
x
+1，函数h(x)=
1
x+3
，x∈(-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=
1
4
时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为[
1
3
，
1
2
]？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．
若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x1=-
1
3
，x2=1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2
3
，求b的最大值；
（Ⅲ）若-
1
3
为函数f（x）的一个极值点，设函数g(x)=f′(x)-ax-
1
3
a，当x∈[-
1
3
，a]时求|g（x）|的最大值．
设函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=
1
3
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g(x)=x2-2bx-
5
12
，若对于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
函数f（x）的图象与函数g(x)=(
1
3
)x的图象关于直线y=x对称，设φ（x）=f（4x-x2），则函数φ（x）的递减区间是（　　）
已知函数f(x)=
1
3
x3-x2+3，x∈[-1，t]（t＞-1）．
（Ⅰ）当t=3时，求函数f（x）的单调区间和最值；
（Ⅱ）设函数g(t)=
1
3
(t-2)2，t＞-1．记方程f'（x）=g（t）的解为x0，x0∈（-1，t），就t的取值情况讨论x0的个数．

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