Question

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x1=-

1

3

，x2=1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2

3

，求b的最大值；
（Ⅲ）若-

1

3

为函数f（x）的一个极值点，设函数g(x)=f′(x)-ax-

1

3

a，当x∈[-

1

3

，a]时求|g（x）|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）进行求导，根据x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）的两个极值点可知-

1

3

和1是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，利用韦达定理建立方程组，解之即可；
（Ⅱ）根据条件|x1|+|x2|=2

3

建立b²关于a的函数关系，然后利用导数研究函数的最值即可求出b的最大值；
（Ⅲ）根据-

1

3

是f（x）的一个极值点求出b与a的等量关系，将函数g（x）用a表示，研究函数|g（x）|在x∈[-

1

3

，a]时的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有-

1

3

和1是方程3ax²+2bx-a²=0的两根
∴

- 2b 3a = 2 3 - a 3 =- 1 3

解得

a=1 b=-1

，∴f（x）=x³-x²-x．（经检验，适合）．（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，∵x₁x₂=-

a

3

＜0且|x1|+|x2|=2

3

，
∴（x₁-x₂）²=12．
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=12，∴b²=3a²（9-a）
∵b²≥0∴0＜a≤9．
设p（a）=3a²（9-a），则p'（a）=54a-9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，
∴当a=6时，p（a）有极大值为324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值为18．（9分）
（Ⅲ）∵-

1

3

是f（x）的一个极值点，
∴f′(-

1

3

)=0，又f'（x）=3ax²+2bx-a²即2b=a-3a²，
∴g(x)=3ax2+(a-3a2)x-a2-ax-

1

3

a=3ax2-3a2x-a2-

1

3

a=

a

3

(3x+1)(3x-3a-1)
∵-

1

3

≤x≤a，a＞0∴g（x）＜0，则|g(x)|=-

a

3

(3x+1)(3x-3a-1)，
即|g(x)|=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a，x∈[-

1

3

，a]
∴当x=

a

2

时，g（x）有最大值

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

．

点评：考查学生会用待定系数法求函数解析式，会利用导数研究函数的极值，掌握绝对值函数求最值的方法．