Question

设函数g(x)=

x

+1，函数h(x)=

1

x+3

，x∈(-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=

1

4

时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为[

1

3

，

1

2

]？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域．
（2）当a=

1

4

时，函数f（x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；
（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可．

解答：解：（1）f(x)=

x +1

x+3

，其定义域为[0，a]；（2分）
（2）令t=

x

+1，则t∈[1，

3

2

]且x=（t-1）²
∴y=f(x)=

t

(t-1)2+3

=

t

t2-2t+4

（5分）
∴y=

1

t-2+ 4 t

∵t-2+

4

t

在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴

t

t2-2t+4

在[1，

3

2

]上递增，即此时f（x）的值域为[

1

3

，

6

13

]（8分）
（3）令t=

x

+1，则t∈[1，1+

a

]且x=（t-1）²∴y=

1

t-2+ 4 t

∵t-2+

4

t

在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴y=

t

t2-2t+4

在[1，2]上递增，[2，1+

a]

上递减，（10分）
t=2时

t

t2-2t+4

的最大值为

1

2

，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2时

1

3

＜

t

t2-2t+4

∴由f（x）的值域恰为[

1

3

，

1

2

]，由

t

t2-2t+4

=

1

3

，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰为[

1

3

，

1

2

]时，1+

a

≤4?a≤9（13分）
所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）

点评：本题考查函数的定义域，函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．