Question

设函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=

1

3

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g(x)=x2-2bx-

5

12

，若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：确定函数f（x）的定义域，并求导函数
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f'（1）=0，即可得到f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；令f'（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当a=

1

3

时，求得函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=-

2

3

；对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出g(x)=x2-2bx-

5

12

=(x-b)2-b2-

5

12

，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范围．

解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，f′(x)=

1

x

-1，
∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2（5分）
（Ⅱ）f′(x)=-

x2-3x+2

3x2

=-

(x-1)(x-2)

3x2

（6分）
令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故当a=

1

3

时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）
（Ⅲ）当a=

1

3

时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=-

2

3

（9分）
若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-

2

3

（*）         （10分）
又g(x)=x2-2bx-

5

12

=(x-b)2-b2-

5

12

，x∈[0，1]
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，[g(x)]min=g(0)=-

5

12

＞-

2

3

与（*）矛盾
②当0≤b≤1时，[g(x)]min=g(b)=-b2-

5

12

，由-b2-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1得，

1

2

≤b≤1
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，[g(x)]min=g(1)=

7

12

-2b＜-

17

12

＜-

2

3

，
此时b＞1（11分）
综上，b的取值范围是[

1

2

，+∞)（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．