Question

5．已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{3}{a_n}$+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（1）当a₃=0时，求λ的值；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据递推式计算a₃，令a₃=0解出λ；
（2）计算b_n+1，讨论b₁是否为0得出结论；
（3）求出S_n，令a＜S_n＜b，得出$\frac{a}{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$＜-$\frac{3}{5}$（λ+18）＜$\frac{b}{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$，从而得出-$\frac{3}{5}$（λ+18）的范围，即可得出λ的范围．

解答 解：（1）∵a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{3}{a_n}$+n-4，
∴a₂=$\frac{2}{3}λ$-3，a₃=$\frac{2}{3}$（$\frac{2}{3}$λ-3）-2=$\frac{4}{9}$λ-4，
∵a₃=0，∴λ=9．
（2）∵b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），∴b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-3n+18）=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{3}$a_n-2n+14），
若a₁-3+21=0，即λ=-18时，b₁=b₂=b₃=…=b_n=0，此时{b_n}不是等比数列；
若a₁-3+21≠0，即λ≠-18时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{3}$，此时{b_n}是等比数列．
综上，当λ=-18时，{b_n}不是等比数列；
当λ≠-18时，{b_n}是等比数列．
（3）由（2）可知当λ=-18时，b_n=0，∴S_n=0，不符合题意；
当λ≠-18时，{b_n}为等比数列，公比q=-$\frac{2}{3}$，b₁=-λ-18，
∴S_n=$\frac{（-λ-18）（1-（-\frac{2}{3}）^{n}）}{1+\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{5}$（λ+18）[1-（-$\frac{2}{3}$）ⁿ]，
∴a＜-$\frac{3}{5}$（λ+18）[1-（-$\frac{2}{3}$）ⁿ]＜b，即$\frac{a}{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$＜-$\frac{3}{5}$（λ+18）＜$\frac{b}{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$，
令f（n）=1-（-$\frac{2}{3}$）ⁿ，
当n为正奇数时，1＜f（n）≤$\frac{5}{3}$；当n为正偶数时$\frac{5}{9}$≤f（n）＜1，
∴f（n）的最大值为f（1）=$\frac{5}{3}$，f（n）的最小值为f（2）=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{9}{5}$a＜f（n）＜$\frac{3}{5}$b，解得-18-b＜λ＜-3a-18．
若-b-18≥-3a-18，即b≤3a时，不存在实数λ满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）．
综上，当b＞3a时，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）．

点评 本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，属于难题．