Question

10．已知定义在[-2，2]上的函数y=f（x）和y=g（x），其图象如图所示：

则以下结论正确的个数是结论（　　）
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；   ②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；   ④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f[g（x）]=0及f（x）的图象可得g（x）=x₁，0，x₂，且-2＜x₁＜-1，1＜x₂＜2；再由g（x）的图象可得方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；利用这个方法依次对②③④判断即可．

解答 解：由f[g（x）]=0得，
g（x）=x₁，0，x₂，且-2＜x₁＜-1，1＜x₂＜2；
g（x）=x₁有且仅有两个解，
g（x）=0有且仅有两个解，
g（x）=x₂有且仅有两个解，
故方程f[g（x）]=0有且仅有6个根，故①正确；
由g[f（x）]=0得，
f（x）=x₁，x₂，且-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1；
f（x）=x₁有且仅有一个解，
f（x）=x₂有且仅有三个解，
故方程f[f（x）]=0有且仅有4个根，故②不正确；
由f[f（x）]=0得，
f（x）=x₁，0，x₂，且-2＜x₁＜-1，1＜x₂＜2；
f（x）=x₁有且仅有一个解，
f（x）=0有且仅有两个解，
f（x）=x₂有且仅有一个解，
故方程f[f（x）]=0有且仅有4个根，故③不正确；
由g[g（x）]=0得，
g（x）=x₁，x₂，且-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1；
g（x）=x₁有且仅有两个解，
g（x）=x₂有且仅有两个解，
故方程f[f（x）]=0有且仅有4个根，故④正确；
故选B．

点评 本题考查了复合函数的应用及数形结合的思想应用．