题目内容
5．已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12，且f（a2-4）=f（2a-8），设等差数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*）若Sn=f（n），则$\frac{{S}_{n}-4a}{{a}_{n}-1}$的最小值为（ ）| A． | $\frac{27}{6}$ | B． | $\frac{35}{8}$ | C． | $\frac{14}{3}$ | D． | $\frac{37}{8}$ |
分析 由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．
解答 解：由题意可得a2-4=2a-8或a2-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），
解得a=1或a=-4，
当a=-1时，f（x）=x2+7x-12，数列{an}不是等差数列；
当a=-4时，f（x）=x2+4x，Sn=f（n）=n2+4n，
∴a1=5，a2=7，an=5+（7-5）（n-1）=2n+3，
∴$\frac{{S}_{n}-4a}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{n}^{2}+4n+16}{2n+2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{（n+1）^{2}+2（n+1）+13}{n+1}$
=$\frac{1}{2}$•[（n+1）+$\frac{13}{n+1}$+2]≥$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{（n+1）•\frac{13}{n+1}}$+2）=$\sqrt{13}$+1，
当且仅当n+1=$\frac{13}{n+1}$即n=$\sqrt{13}$-1时取等号，
∵n为正数，故当n=3时原式取最小值$\frac{37}{8}$．
故选：D．
点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及基本不等式和不等式的性质，属中档题．
练习册系列答案
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| x | $\frac{π}{3}$ | $\frac{5π}{6}$ | |||
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（2）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-（2m+1）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
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