光线沿直线y=2x+1的方向射在直线y=x上.求反射后的光线所在的直线方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

光线沿直线y=2x+1的方向射在直线y=x上.求反射后的光线所在的直线方程.

试题答案

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思路解析：根据光学知识，入射角等于反射角，可以根据夹角公式求解，也可以利用对称来求解,后一种更方便.

解法一：设P（x，y）是反射后的光线所在直线上任意一点，由光学知识可知P关于y=x的对称点P′（x₀，y₀）在直线y=2x+1上，∴y₀=2x₀+1.

而所以反射光线所在的直线方程为x=2y+1，即x-2y-1=0.

事实上，只需将y=2x+1中的x，y对调，便可得出此曲线关于直线y=x的对称曲线的方程.

解法二：解方程组得交点P（-1，-1）.

在直线y=2x+1上任取一点A（1，3），A点关于直线y=x的对称点B（3，1）必在反射光线所在的直线上，

∴反射光线的方程为PB：=，即x-2y-1=0.

解法三：由方程组得交点P（-1，-1）.过P点且垂直直线y=x的直线方程为x+y+2=0.

由光学知识可知入射线与反射线关于直线x+y+2=0对称.

在y=2x+1上任取一点C（0，1），关于直线x+y+2=0的对称点为D（-3，-2）.

直线PD：=，即x-2y-1=0为反射光线所在直线的方程.

解法四：解方程组得交点P（-1，-1）.

设直线y=x到y=2x+1的角为α，则tanα==.

设反射光线所在直线的斜率为k,则=，则k=，则反射光线所在直线的方程为y+1=（x+1），即x-2y-1=0.

解法五：在y=2x+1上任取两点A（0，1）、B（-1，-1），它们关于y=x的对称点为A′（1，0）、B′（-1，-1）.A′B′所在的直线方程为=，即x-2y-1=0为反射光线所在的直线方程.

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