Question

6．已知函数f（x）=mlnx的图象在点（1，0）处的切线方程为y=x-1，g（x）=a（x-1）且关于x的不等式$f（x）＜\frac{g（x）}{2}$在（1，+∞）上恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）试比较a与（e-2）lna+2的大小．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，可得m=1，令h（x）=f（x）-$\frac{g（x）}{2}$=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），x＞1，求出导数，讨论a，可得单调性，即可得到a的范围；
（2）设m（x）=x-2-（e-2）lnx（x≥2），求出导数，判断单调性，讨论x的范围，即可比较大小．

解答 解：（1）函数f（x）=mlnx的导数为f′（x）=$\frac{m}{x}$，
由在点（1，0）处的切线方程为y=x-1，
即有m=1，
令h（x）=f（x）-$\frac{g（x）}{2}$=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），x＞1，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$a=$\frac{2-ax}{2x}$，x＞1
①a≤0，x＞1，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增，
h（x）＞h（1）=0，a≤0不合题意；
②当a≥2时，即0＜$\frac{2}{a}$≤1时，h′（x）＜0在（1，+∞）恒成立，
h（x）递减，h（x）＜h（1）=0，a≥2符合题意；
③当0＜a＜2时，即$\frac{2}{a}$＞1，由h′（x）＞0可得1＜x＜$\frac{2}{a}$；
由h′（x）＜0可得x＞$\frac{2}{a}$．h（x）在（1，$\frac{2}{a}$）递增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）递减，
即有h（$\frac{2}{a}$）＞h（1）=0，则0＜a＜2不合题意．
综上可得a≥2；
（2）设m（x）=x-2-（e-2）lnx（x≥2），m′（x）=1-$\frac{e-2}{x}$=$\frac{x+2-e}{x}$＞0，
m（x）在[2，+∞）递增，m（e）=0，
当x∈[2，e）时，m（x）＜0，即x-2＜（e-2）lnx，即x＜（e-2）lnx+2；
当x∈（e，+∞）时，m（x）＞0，即x-2＞（e-2）lnx，即x＞（e-2）lnx+2．
综上可得，当a∈[2，e）时，a＜（e-2）lna+2；
当a=e时，a=（e-2）lna+2；
当a∈（e，+∞）时，a＞（e-2）lna+2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性和分类讨论的思想方法，属于中档题．