Question

（2012•许昌县一模）已知函数f（x）=sin（2x+φ）．其中φ为实数，若f（x）≤|f（

π

6

）|对x∈R恒成立，且 f（

π

2

）＞f（π），|φ|＜π．则f（x）的递减区间是（　　）

• A．[kπ+

  π

  3

  ，kπ+

  7π

  6

  ](k∈z)
• B．[kπ+

  π

  6

  ，kπ+

  2π

  3

  ](k∈z)
• C．[kπ+

  2π

  3

  ，kπ+

  7π

  6

  ](k∈z)
• D．[kπ-

  π

  2

  ，kπ](k∈z)

Answer 1

分析：由若f(x)≤|f(

π

6

)|对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，易得f（

π

6

）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f(

π

2

)＞f(π)，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．

解答：解：若f(x)≤|f(

π

6

)|对x∈R恒成立，
则f（

π

6

）等于函数的最大值或最小值
即2×

π

6

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z
则φ=kπ+

π

6

，k∈Z
又f(

π

2

)＞f(π)，
∴sin（2×

π

2

+φ）＞sin（2π+φ）．
即sinφ＜0．
又φ=kπ+

π

6

，k∈Z，|φ|＜π．
令k=-1，此时φ=-

5π

6

，满足条件
令2x-

5π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z
解得x∈[kπ+

2π

3

，kπ+

7π

6

](k∈z)，
f（x）的递减区间是：[kπ+

2π

3

，kπ+

7π

6

](k∈z)．
故选C

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是解答本题的关键．