Question

【题目】已知a+b=1，对a，b∈（0，+∞）， + ≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（1）求 + 的最小值；
（2）求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＞0，b＞0且a+b=1

∴ = ，

当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即 时，等号成立，

故 的最小值为9．

（2）解：因为对a，b∈（0，+∞），使 恒成立，

所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，

当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，

当 时，﹣3x≤9，∴ ，

当 时，x﹣2≤9，∴ ，∴﹣7≤x≤11．

【解析】（1）利用“1”的代换，化简 + ，结合基本不等式求解表达式的最小值；（2）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．
【考点精析】掌握基本不等式在最值问题中的应用是解答本题的根本，需要知道用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．