题目内容

【题目】如图,已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.

(1)求证:ACBC=ADAE;
(2)若AF=2,CF=2 ,求AE的长.

【答案】
(1)证明:如图所示,连接BE.

∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°.

又∠E与∠ACB都是 所对的圆周角,

∴∠E=∠ACB.

∵AD⊥BC,∠ADC=90°.

∴△ABE∽△ADC,

∴AB:AD=AE:AC,

∴ABAC=ADAE.

又AB=BC,

∴BCAC=ADAE.


(2)解:∵CF是⊙O的切线,

∴CF2=AFBF,

∵AF=2,CF=2

∴(2 2=2BF,解得BF=4.

∴AB=BF﹣AF=2.

∵∠ACF=∠FBC,∠CFB=∠AFC,

∴△AFC∽△CFB,

∴AF:FC=AC:BC,

∴AC= =

∴cos∠ACD=

∴sin∠ACD= =sin∠AEB,

∴AE= =


【解析】(1)如图所示,连接BE.由于AE是⊙O的直径,可得∠ABE=90°.利用∠E与∠ACB都是 所对的圆周角,可得∠E=∠ACB.进而得到△ABE∽△ADC,即可得到.(2)利用切割线定理可得CF2=AFBF,可得BF.再利用△AFC∽△CFB,可得AF:FC=AC:BC,进而根据sin∠ACD=sin∠AEB,AE= ,即可得出答案.

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