Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．
（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；
（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，

解得：x≥7，

﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，

x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，

解得：x≤﹣7，

故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}

（2）解：x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，

﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，

x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，

故f（x）的最大值是1，

若存在实数x满足f（x）=log2a，

只需 ≤1即可，解得：0＜a≤2

【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为 ≤1，解出即可．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．