题目内容
前不久，社科院发布了2013年度“全国城市居民幸福指数排行榜”，北京市称为本年度最“幸福城”．随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10份制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（Ⅰ）求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1），由此能求出至多有1人是“极幸福”的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，
至多有1人是“极幸福”记为事件A，
则P（A）=P（A0）+P（A1）=
+
=
．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=(
)3=
，P（ξ=1）=
(
)(
)2=
，
P（ξ=2）=
(
)3•
=
，
P（ξ=3）=（
）3=
．
ξ的分布列为：
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
至多有1人是“极幸福”记为事件A，
则P（A）=P（A0）+P（A1）=
| ||
|
| ||||
|
| 121 |
| 140 |
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=(
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 64 |
| C | 1 3 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 64 |
P（ξ=2）=
| C | 2 3 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 64 |
P（ξ=3）=（
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 64 |
ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 27 |
| 64 |
| 27 |
| 64 |
| 9 |
| 64 |
| 1 |
| 64 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期的求法，是中档题．
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