Question

【题目】如图,在三棱台中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）先证，再证，进而可证平面；（Ⅱ）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）延长， ， 相交于一点，如图所示．

因为平面平面，且，所以平面，因此．

又因为， ， ，

所以为等边三角形，且为的中点，则．

所以平面．

（Ⅱ）方法一：过点作于Q，连结．

因为平面，所以，则平面，所以．

所以是二面角的平面角．

在中， ， ，得．

在中， ， ，得．

所以二面角的平面角的余弦值为．

方法二：如图，延长， ， 相交于一点，则为等边三角形．

取的中点，则，又平面平面，所以， 平面．

以点为原点，分别以射线， 的方向为， 的正方向，建立空间直角坐标系．

由题意得， ， ， ， ， ．

因此， ， ， ．

设平面的法向量为，平面的法向量为．

由，得，取；

由，得，取．

于是， ．

所以，二面角的平面角的余弦值为．