Question

【题目】已知函数 .

（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时， 的单调递增区间是，当时， 的单调递增区间是， ，单调递减区间是 ；（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x2-2x+a=0，对判别式讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得不等式f（x1）≥mx2恒成立即为即为，令求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

试题解析：（Ⅰ）因为当时， ，所以.

因为，所以切线方程为.

（Ⅱ）因为，令，即.

（ⅰ）当，即时， ，函数在上单调递增；

（ⅱ）当，即时，由，得，

① 若，由，得或；

由，得；

此时，函数在上递减，在上递增；

②若，则，函数在上递减，在上递增；

③若，则函数在上递减，在上递增.

综上，当时，函数的增区间为在，无减区间；

当时， 的单调递增区间是；

单调递减区间是；

当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数有两个极值点，则.

因为，

所以.

因为，所以，

因为 ，

所以.

设，则.

因为，且，

在上单调递减，则，所以.