Question

3．如图所示，已知正四棱锥S-ABCD，E、F分别是侧棱SA、SC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）EF⊥平面SBD．

Answer 1

分析 （1）连接BD，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）由正四棱锥S-ABCD中，AC⊥平面SBD，结合FE∥AC，即可判定EF⊥平面SBD．

解答 证明：（1）连接AC，∵由E、F分别是SA、SC的中点，
∴FE∥AC，
∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴则有EF∥平面ABCD；
（2）∵正四棱锥S-ABCD中，顶点S在底面的射影为底面中心，
∴AC⊥平面SBD．
∵由（1）可得FE∥AC，
∴EF⊥平面SBD．

点评 本题考查线面平行和垂直的判定和性质，考查空间推理能力，和空间想象能力，属于中档题．