Question

（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为

（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴   ；（2）；

（3）存在正整数使成立.

【解析】(1)因为,所以当时，取值为1，2，3，…，共有个格点,当时，取值为1，2，3，…，共有个格点,从而可知.

(2)由于，然后根据研究数列{}的单调性，从而确定出其最值.问题到此基本得以解决.

(3)在（2）的基础上，可知,然后将代入,再化简整理可得,然后再根据t=1和t>1两种情况进行讨论，从而确定是否存在n,t的值，使成立.

解：⑴              ------------------2

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

∴-      ------------------4分

（2）解：由 

则

-------------------5分

当时，

当时，-------------------6分

∴时，

时，

时，

∴中的最大值为-------------------8分

要使对于一切的正整数恒成立，只需

∴-------------------9分

（3）解：--------------10分

将代入，化简得，（﹡）--------------11分

若时，显然-------------------12分

若时     （﹡）式

化简为不可能成立-------------------13

综上，存在正整数使成立. - --------------14分