Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值．（正三棱柱：上下底面为正三角形的直棱柱，底面边长不一定等于侧棱长）

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间角

分析：取A₁B₁中点D，设A₁B₁=2a，连接C₁D，BD，可得∠C₁BD为所求角，进而可求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

解答： 解：取A₁B₁中点D，设A₁B₁=2a，连接C₁D，BD，∴C1D=

3

a，
设B₁B=x，则
∵C1D⊥A1B1，

∴C1D⊥面ABB1

，∴AB1⊥C1D，∠C₁BD为所求角，
∴B1M=

ax

a2+x2

．
∵△ABM～△B₁DM，∴

B1M

B1A

=

1

3

=

ax a2+x2

4a2+x2

⇒x=

2

a，
∴sin∠C1BD=

2

2

，即BC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为

2

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，正确作出线面角．